Factorizar completamente cada uno de los siguientes polinomios.

 

a)  3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2

 

Solución: Se   observa   que   hay   factores   comunes   entre   los  términos  del polinomio  dado,   por  lo  que  se  eligen  los  factores  comunes  con  su  menor exponente  (M.C.D.)  tanto  entre  los  coeficientes  numéricos  (3, 32, 2.32) como entre las variables, obteniéndose: 3xy2

 

El otro factor resulta de dividir cada término del polinomio entre el factor común:

 

,           ,           

 

Por tanto, el polinomio factorizado será:

 

3x3 y2 + 9x2 y2 – 18xy2 = 3xy2 (x2 + 3x – 6)

 

La factorización se puede comprobar efectuando el producto indicado en el lado derecho de igualdad, el cual debe dar el polinomio que se factorizó.

 

b)  a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1)

 

Solución: El factor común también puede ser un polinomio, en este caso, m – 1 y la factorización se realiza en forma análoga a cuando el factor común es un monomio (véase el ejercicio anterior).

 

Por lo tanto,      a (m – 1) + b (m – 1) – c (m – 1) = (m – 1) (a + b – c)

 

c)  2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v

 

Solución: A simple vista se observa que no hay factor común, pero hay términos que “se parecen” como 2av2 y 3uv2. Además, hay un número par de términos, por lo que, se puede pensar en el caso de factor común por agrupación, que consiste en hacer grupos con igual cantidad de términos, se factoriza cada grupo con el propósito de conseguir un nuevo factor común, y luego, se completa la factorización. Si al factorizar los grupos no se consigue un nuevo factor común, entonces, se agrupan de otra forma hasta lograrlo.

 

Efectuemos una agrupación conveniente de términos, por ejemplo, el 1º con el 4º, el 5º con el 2º y el 3º con el 6º.  Entonces,

 

 

     2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v

      =  (2av2 – 3uv2) – (2au2 – 3u3) + (2auv – 3u2 v)  (se factoriza cada grupo)

      =  v2 (2a – 3u) – u2 (2a – 3u) + u v (2a – 3u)  (aparece un nuevo factor común)

      =  (2a – 3u) (v2 – u2 + u v)    (se completa la factorización). Entonces,

 

2av2 + 3u3 + 2auv – 3uv2 – 2au2 – 3u2 v =  (2a – 3u) (v2 – u2 + u v)

 

También se pueden agrupar los términos de 3 en 3, por ejemplo, los 3 términos que tienen coeficiente numérico 2 y los 3 que tienen coeficiente numérico 3. ¡Inténtalo!

 

d)  9x2 – 36xy + 36y2

 

Solución: Como  es  un  trinomio,  la  pregunta  inmediata  es: ¿Será  un trinomio cuadrado  perfecto?   Se  reconoce  porque  dos  de sus términos son positivos y cuadrados  perfectos  (tienen raíz cuadrada exacta):     y   ; y el tercer término  (positivo o negativo) es igual al doble producto de las raíces cuadradas de los dos primeros: 36xy = 2(3x) (6y).

 

Entonces, el trinomio cuadrado perfecto se factoriza separando las raíces cuadradas por el signo del 2º término, se encierran entre paréntesis  y se eleva al cuadrado.  O sea,

 

9x2 – 36xy + 36y2 = (3x – 6y)2

                                                                    

                                              3x                    6y

                                                     2(3x)(6y)

 

e)  9x2 – 4y4

                  

Solución: Obsérvese que son dos cuadrados perfectos que se están restando, por lo que, se trata de una diferencia de cuadrados. Para factorizarlo, se saca la raíz cuadrada de cada uno de los términos; estas raíces cuadradas se suman y se multiplican por la diferencia de las mismas.

Por lo tanto,    

                                           9x2 – 4y4 = (3x + 2y2) (3x – 2y2)

                                                   

                                            3x     2y2 

 

f)  (a + b – 1)2 – (a – b + 1)2

 

Solución: Se trata de una diferencia de cuadrados.  Entonces,

 

     (a + b – 1)2 – (a – b + 1)2 = [(a + b – 1) + (a – b + 1)] [(a + b – 1) – (a – b + 1)]

 

                                              = [a + b – 1 + a – b + 1] [a + b – 1 – a + b – 1]

 

                                              = [2a] [2b – 2] = 2 a. 2 (b – 1) = 4 a (b – 1)

 

(a + b – 1)2 – (a – b + 1)2  =  4 a (b – 1)

 

 

g)      125 a3 + 8b3

 

Solución: Esta es una suma de cubos.  Se le saca la raíz cúbica a cada término y luego se aplica:    a3 + b3 = (a + b) (a2 – a b + b2).  Por tanto,

    

125 a3 + 8b3 = (5a)3 + (2b)3 = (5a + 2b) [(5a)2 – (5a) (2b) + (2b)2]

 

                                             = (5a + 2b) (25a2 – 10a b + 4b2)

 

h)  (x – 1)3 – (1 – x)3

 

Solución: Se trata de una diferencia de dos cubos, por lo que se aplica:

 

a3 – b3 = (a – b) (a2 + a b + b2). Entonces,

 

     (x – 1)3 – (1 – x)3 = [(x – 1) – (1 – x)] [(x – 1)2  + (x – 1) (1 – x) + (1 – x)2]

 

desarrollando:    = [x – 1 – 1 + x] [x2 – 2x + 1 + x – x2 – 1 + x + 1 – 2x + x2]

 

Simplificando:    = [2x – 2] [–2x + 2x + 1 – 2x + x2]  factorizando y simplificando:

 

                          = 2 (x – 1) (x2 – 2x + 1) = 2 (x – 1) (x – 1)2,  entonces,

 

     (x – 1)3 – (1 – x)3 = 2 (x – 1)3

 

i)   27 a3 + 27 a2 b + 9ab2 + b3

 

Solución.  Este caso se reconoce porque el polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos (tienen raíces cúbicas exactas); enseguida se debe ordenar para ver si se trata del cubo de un binomio.  En este caso, el polinomio está ordenado y ahora hay que comprobar si se cumplen las condiciones.  Se procede así:

 

Se saca la raíz cúbica del 1º y el 4º término:     y    

 

El 2º término, debe ser el triple del cuadrado de la primera raíz cúbica por la segunda:    

3 (3 a)2. b = 3 (9 a2).b = 27 a2 b

 

El tercer término, debe ser el triple de la primera raíz por el cuadrado de la segunda:       

3 (3 a) (b)2 = 9ab2 

 

Como se cumplen todas las condiciones, y además, todos los términos son positivos, se trata del cubo de una suma.  Entonces, se suman las raíces cúbicas, se encierran entre paréntesis y luego se eleva al cubo. O sea,

 

27 a3  +  27 a2 b  +  9ab2  +  b3  =  (3 a + b)3 

                                          

   3a                                      b

             3(3 a)2 .b 

                              

                            3(3 a).b2         

              

j)   8m3 + 96mn2 – 64n3  48m2 n

 

Solución: El polinomio tiene 4 términos y dos de ellos son cubos perfectos, entonces, hay que ordenarlo con relación a la letra m:

 

8m3 – 48m2 n + 96mn2 – 64n3

Como los signos van alternados, se trataría del cubo de una diferencia y se factoriza como en el ejemplo anterior:

 

8m3    48m2 n  +  96mn2    64n3 =  (2m – 4n)3 

                                                                                                                            

                                 2m                                            4n

 

                                         3(2m)2(4n)

 

                                                             3(2m) (4n)2

 

k)  x2 – 7x + 12

 

Solución: Es un trinomio pero no cuadrado perfecto, sino de la forma x2 + bx + c.  Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x2, la cual se distribuye en cada uno de los paréntesis.  Se coloca el signo del segundo término en el primer paréntesis  y en el segundo, el producto de los signos del 2º y tercer término.  Así:

 

x 2 – 7x + 12 = (x –   ) (x –  )

 

Ahora se buscan dos números que multiplicados den 12 y sumados (porque tienen signos iguales) den 7.  Estos son 4 y 3.  Se coloca primero el mayor y en el segundo paréntesis, el menor.  Entonces,

x 2 – 7x + 12 = (x – 4 ) (x – 3)

l)  3x2 – 5x – 2

Solución: Es un trinomio de la forma ax2 + b x + c.  Hay dos maneras de factorizarlo:

 

·         forma:

 

Se multiplica y se divide por 3 el polinomio dado, de manera que el primer término quede expresado como un cuadrado perfecto, o sea, (3x)2; en el segundo término se deja indicada la multiplicación, de manera, que se vea la raíz cuadrada del primero, o sea, 5(3x) y en el último término, se hace la multiplicación ordinaria. Por lo tanto,

 

3x2 – 5x – 2 =  

 

ahora se factoriza como en el ejemplo anterior, resultando,

 

3x2 – 5x – 2 =  

Se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados (porque tienen signos diferentes) den 5.  Los números son 6 y 1.  Se factoriza el primer paréntesis para eliminar el 3 que está como denominador.  En resumen:

3x2 – 5x – 2 =    (x – 2) (3x + 1)

·        2ª forma:

 

 Se abren dos paréntesis y se saca la raíz cuadrada de x 2, la cual se distribuye   en cada uno de los paréntesis pero acompañada del 3.  Como hay un 3 de más, entonces, se divide por 3:

3x2 – 5x – 2 =

 Antes de factorizar como en el ejemplo anterior, se multiplican los números  extremos (3.2 = 6) y se buscan dos números que multiplicados den 6 y restados  den 5. Los números son 6 y 1, luego se elimina el 3 del denominador. Por lo  tanto,

 

3x2 – 5x – 2 =   (x – 2) (3x + 1)

 

entonces,                         3x2 – 5x – 2 = (x – 2) (3x + 1)

 

m)  9x2 – a2 + 2ab – b2

 

Solución: Se agrupan los tres últimos términos del polinomio, los cuales formarán un trinomio cuadrado perfecto y luego, se obtendrá una diferencia de cuadrados:

 

9x2 – a2 + 2ab – b2 = 9x2 – (a2 – 2 ab + b2) = 9x2 – (a  – b)2

 

                                                 = [3x + (a  – b)] [3x – (a – b)]     destruyendo paréntesis: